Значение синуса в военное время может достигать четырех и даже пяти!

/Военная мудрость/

Пи, π, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно отношения длины окружности к диаметру…

/Большая Советская Энциклопедия/

Забавно, но я легко могу назвать тридцать вторую цифру числа π после запятой и пятидесятую и даже пятьдесят четвертую. Это ноль.

Можно попробовать доказать, что каждая цифра после запятой равна нулю. И да, первая и единственная значащая цифра до запятой это двойка. Всё что для этого нам понадобится это определение из начала статьи.

Тот факт, что π принимают равным 3.14… исходит из существенного ограничения: рассматривается геометрия на плоскости. Похожая ситуация состоит и со всем известной с седьмого класса теоремой о сумме углов треугольника. Известно, что эта сумма равна 180-и градусам. Но, скажем, в геометрии Лобачевского сумма будет всегда меньше 180 градусов, а если рассматривать треугольники на сфере, то всегда больше (540 градусов в худшем случае, да-да все три угла развёрнутые по 180 градусов).

Про сферу и поговорим. Можно наглядно показать, что существует такая окружность на произвольной сфере, что число π для неё будет равно 2. Если рассматривать поверхность Земли как большую сферу, то в качестве такой окружности подойдёт экватор. Центр такой окружности будет находится не где-то в районе Земного ядра как можно подумать, а на северном или южном полюсе. Здесь стоит напомнить, что мы рассматриваем геометрию на сфере, то есть никакие линии не могут выходить за её пределы. Стало быть все линии должны лежать на поверхности земли, как дороги или русла рек. Окружность по определению это множество точек равноудалённых от данной. Очевидно, что если проводить линии по меридианам от полюса к экватору, то длины этих линий будут равны, более того эти линии имеют наименьшую возможную длину. То есть полюса равноудалены от экватора и значит, что любой из полюсов может быть выбран в качестве центра нашей окружности.

Отрезок меридиана начинающийся на полюсе и заканчивающийся на экваторе (то есть «сферический» радиус экватора) будет иметь длину равную одной четвертой длины окружности экватора. Дело в том, что все меридианы лежат на наибольших возможных окружностях для данной сферы, что верно и для экватора. Диаметр это два радиуса, а значит длина экватора равна двум его диаметрам. Тогда π = 2D / D = 2. Что и требовалось доказать. Анимация ниже показывает это наглядно.

После доказательства, стоит обратить внимание на продолжение статьи из БСЭ: Возможность чисто аналитического определения числа π имеет принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой геометрии π также участвует в некоторых формулах, но уже не как отношение длины окружности к диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии вовсе не является постоянным)… Факт непостоянства отношения длины окружности к диаметру в неевклидовой геометрии и был использован для доказательства того что π = 2.

Пока я подготавливал статью, нашёл несколько интересных статей связанных с числом π. Например, мне очень понравилось наглядное объяснение почему в задаче про «иглу Бюффона» всплывает число π. Впервые я узнал про эту иглу из журнала «Квант», потом мы проходили её по теории вероятностей. Но красивое геометрическое решение я узнал всего несколько дней назад в комментариях (первый и второй) к одной из статьей на Хабра-хабре. И похоже не я один про эту задачу узнал из Кванта.

Кстати, анимация выше не нарисована в обычном понимании этого слова. Она запрограммирована и отрисована с помощью программы POV-Ray, исходники можно посмотреть здесь.